Appendix A — 回転系の運動方程式

A.1 回転系

角速度 \(\pmb{\Omega}\) で回転する系を考える。 この系とともに回転する定ベクトル \(\pmb{A}\) とすると、静止系からみたこのベクトルの時間変化は次のようになる。

\[\frac{\mathrm{d}\pmb{A}}{\mathrm{d}t} = \pmb{\Omega}\times\pmb{A} \tag{A.1}\]

回転系からみた任意のベクトル \(\pmb{B}\) の時間変化（添字R）は、

\[\left.\frac{\mathrm{d}\pmb{B}}{\mathrm{d}t}\right|_\mathrm{R} = \frac{\mathrm{d}B_1}{\mathrm{d}t}\pmb{i}_1 + \frac{\mathrm{d}B_2}{\mathrm{d}t}\pmb{i}_2 + \frac{\mathrm{d}B_3}{\mathrm{d}t}\pmb{i}_3\]

であるが、静止系から見ると \(\pmb{B}\) だけでなく、回転系の単位ベクトルも時間変化しているので

\[\left.\frac{\mathrm{d}\pmb{B}}{\mathrm{d}t}\right|_\mathrm{I} = \left.\frac{\mathrm{d}\pmb{B}}{\mathrm{d}t}\right|_\mathrm{R} + B_1\frac{\mathrm{d}\pmb{i}_1}{\mathrm{d}t} + B_2\frac{\mathrm{d}\pmb{i}_2}{\mathrm{d}t} + B_3\frac{\mathrm{d}\pmb{i}_3}{\mathrm{d}t}\]

とすると、静止系からみたこのベクトルの時間変化は次のようになる。 単位ベクトルは定ベクトルなので、Equation A.1を適用すると

\[\begin{aligned} \left.\frac{\mathrm{d}\pmb{B}}{\mathrm{d}t}\right|_\mathrm{I} &= \left.\frac{\mathrm{d}\pmb{B}}{\mathrm{d}t}\right|_\mathrm{R} + B_1\pmb{\Omega}\times\pmb{i}_1 + B_2\pmb{\Omega}\times\pmb{i}_2 + B_3\pmb{\Omega}\times\pmb{i}_3 \\ &= \left.\frac{\mathrm{d}\pmb{B}}{\mathrm{d}t}\right|_\mathrm{R} + \pmb{\Omega}\times\pmb{B} \end{aligned} \tag{A.2}\]

Equation A.2より位置ベクトル \(\pmb{r}\)の時間変化は、次のようになる。

\[\left.\frac{\mathrm{d}\pmb{r}}{\mathrm{d}t}\right|_\mathrm{I} = \left.\frac{\mathrm{d}\pmb{r}}{\mathrm{d}t}\right|_\mathrm{R} + \pmb{\Omega}\times\pmb{r} \tag{A.3}\]

この式は、静止系からみた速度 \(\pmb{u}_\mathrm{I}\equiv\frac*{\mathrm{d}\pmb{r}}{\mathrm{d}t}|_\mathrm{I}\) は、回転系からみた速度（相対速度）に剛体回転による速度 \(\pmb{\Omega}\times\pmb{r}\) を加えたものであることを示している。

\[\pmb{u}_\mathrm{I} = \pmb{u}_\mathrm{R} + \pmb{\Omega}\times\pmb{r} \tag{A.4}\]

\(\pmb{u}_\mathrm{I}\) に Equation A.3を適用すると

\[\left.\frac{\mathrm{d}\pmb{u}_\mathrm{I}}{\mathrm{d}t}\right|_\mathrm{I} = \left.\frac{\mathrm{d}\pmb{u}_\mathrm{I}}{\mathrm{d}t}\right|_\mathrm{R} + \pmb{\Omega}\times\pmb{u}_\mathrm{I}\]

この式の右辺を回転系の変数で表すためEquation A.4を代入すると

\[\left.\frac{\mathrm{d}\pmb{u}_\mathrm{I}}{\mathrm{d}t}\right|_\mathrm{I} = \left.\frac{\mathrm{d}\pmb{u}_\mathrm{R}}{\mathrm{d}t}\right|_\mathrm{R} + 2\pmb{\Omega}\times\pmb{u}_\mathrm{R} + \pmb{\Omega}\times(\pmb{\Omega}\times\pmb{r}) + \frac{\mathrm{d}\pmb{\Omega}}{\mathrm{d}t}\times\pmb{r}\]

右辺第2項 \(2\pmb{\Omega}\times\pmb{u}_\mathrm{R}\) はコリオリ力。 右辺第3項はベクトル解析の公式

\[\pmb{A}\times(\pmb{B}\times\pmb{C}) = (\pmb{A}\cdot\pmb{C})\pmb{B} - (\pmb{A}\cdot\pmb{B})\pmb{C}\]

を用いると次のようになる。

\[\pmb{\Omega}\times(\pmb{\Omega}\times\pmb{r}) = \pmb{\Omega}\times(\pmb{\Omega}\times\pmb{r}) = -\Omega^2\pmb{r}\]

ここで \(\pmb{r}=\pmb{r}\sin\theta\), \(\Omega\equiv|\pmb{\Omega}|\) である。 この項は遠心力を表す。 右辺の最後の項は、長い時間スケールを考えない限り無視できる。

A.2 運動方程式

静止系の運動方程式は

\[\frac{\mathrm{d}\pmb{u}}{\mathrm{d}t} = -\frac{1}{\rho}\nabla p + \pmb{F}\]

と表せる。 ここで \(\pmb{F}\) は外力や粘性力を表している。

遠心力を重力に含め、\(\pmb{g}\) と表すと、回転系の運動方程式は

\[\frac{\mathrm{d}\pmb{u}}{\mathrm{d}t} = -\frac{1}{\rho}\nabla p + \pmb{g} - 2\pmb{\Omega}\times\pmb{u}+ \pmb{F}\]

と書ける。

A.3 直交曲線座標

直交曲線座標 \((i_1, i_2, i_3)\) において、位置ベクトル

\[\pmb{r} = \pmb{r}(x, y, z) = \pmb{r}(i_1, i_2, i_3)\]

接線ベクトル

\[\frac{\partial\pmb{r}}{\partial i_1},\,\frac{\partial\pmb{r}}{\partial i_2},\,\frac{\partial\pmb{r}}{\partial i_3}\]

の長さをスケールファクタ

\[h_1=\left|\frac{\partial\pmb{r}}{\partial i_1}\right|,\, h_2=\left|\frac{\partial\pmb{r}}{\partial i_2}\right|,\, h_3=\left|\frac{\partial\pmb{r}}{\partial i_3}\right|\]

という。スケールファクタで接線ベクトルを規格化したものが基本ベクトル

\[\pmb{i}_1=\frac{1}{h_1}\frac{\partial\pmb{r}}{\partial i_1},\, \pmb{i}_2=\frac{1}{h_2}\frac{\partial\pmb{r}}{\partial i_2},\, \pmb{i}_3=\frac{1}{h_3}\frac{\partial\pmb{r}}{\partial i_3}\]

である。

直交曲線座標における勾配、発散、ラプラシアン（勾配の発散）、回転は以下のようになる。

\[\begin{aligned} \nabla f &= \frac{1}{h_1}\frac{\partial f}{\partial i_1}\pmb{i}_1 + \frac{1}{h_2}\frac{\partial f}{\partial i_2}\pmb{i}_2 + \frac{1}{h_3}\frac{\partial f}{\partial i_3}\pmb{i}_3 \\ \nabla\cdot\pmb{A} &= \frac{1}{h_1h_2h_3}\left[\frac{\partial}{\partial i_1}(h_2h_3A_1) + \frac{\partial}{\partial i_2}(h_3h_1A_2) + \frac{\partial}{\partial i_3}(h_1h_2A_3)\right] \\ \nabla^2 f &= \frac{1}{h_1h_2h_3}\left[\frac{\partial}{\partial i_1}\left(\frac{h_2h_3}{h_1}\frac{\partial f}{\partial i_1}\right) + \frac{\partial}{\partial i_2}\left(\frac{h_3h_1}{h_2}\frac{\partial f}{\partial i_2}\right) + \frac{\partial}{\partial i_3}\left(\frac{h_1h_2}{h_3}\frac{\partial f}{\partial i_3}\right)\right] \\ \nabla \times \pmb{A} &= \frac{1}{h_2h_3}\left[\frac{\partial}{\partial i_2}(h_3A_3) - \frac{\partial}{\partial i_3}(h_2A_2)\right]\pmb{i}_1 \nonumber \\ &+ \frac{1}{h_3h_1}\left[\frac{\partial }{\partial i_3}(h_1A_1) - \frac{\partial}{\partial i_1}(h_3A_3)\right]\pmb{i}_2 \nonumber \\ &+ \frac{1}{h_1h_2}\left[\frac{\partial}{\partial i_1}(h_2A_2) - \frac{\partial}{\partial i_2}(h_1A_1)\right]\pmb{i}_3 \end{aligned}\]

A.4 球座標系

地球上の1点の座標は、経度 \(\lambda\) と緯度 \(\phi\) で表される。 数学では、球面上の座標を表すのに北極から測った余緯度 \(\theta\) を用いることが多い。 余緯度は \(\theta = \pi/2 - \phi\) で表され、北極が0、赤道が \(\pi/2\), 極が \(\pi\) である。 三角函数の加法定理より

\[\begin{aligned} \cos\theta &= \cos\left(\frac{\pi}{2} - \phi\right) = \cos\frac{\pi}{2}\cos\phi + \sin\frac{\pi}{2}\sin\phi = \sin\phi \\ \sin\theta &= \sin\left(\frac{\pi}{2} - \phi\right) = \sin\frac{\pi}{2}\cos\phi - \cos\frac{\pi}{2}\sin\phi = \cos\phi \end{aligned}\]

のように \(\cos\) と \(\sin\) とが入れ替わる。

A.4.1 球座標とデカルト座標との関係

\[\begin{aligned} x &= r\cos\lambda\cos\phi \\ y &= r\sin\lambda\cos\phi \\ z &= r\sin\phi \end{aligned}\]

本講義では、赤道平面上で \(x\) 軸は \(\lambda=0\) の方向に、\(y\) 軸は \(\lambda=\pi/2\) に取る。\(z\) 軸は原点から北極を向く方向に取る。 気象学では、それぞれの点で西風を \(u\), 南風を \(v\) で表す。

A.4.2 球座標上の微分

球座標のスケールファクタは

\[h_\lambda = r\cos\phi,\,h_\phi = r,\,h_r =1\]

である。

緯度 \(\phi=\pi/2 - \theta\) で表した球座標での勾配、発散、ラプラシアン（勾配の発散）、回転は以下のようになる。

\[\begin{aligned} \nabla f &= \frac{1}{r\cos\phi}\frac{\partial f}{\partial\lambda}\pmb{i} + \frac{1}{r}\frac{\partial f}{\partial \phi}\pmb{j} + \frac{\partial f}{\partial r}\pmb{k} \\ \nabla\cdot \pmb{A} &= \frac{1}{r^2\cos\phi}\left[\frac{\partial}{\partial\lambda}(rA_\lambda) + \frac{\partial}{\partial\phi}(r\cos\phi A_\phi) + \frac{\partial}{\partial r}(r^2\cos\phi A_r)\right] \\ \nabla^2f &= \frac{1}{r^2\cos\phi}\left[ \frac{\partial}{\partial\lambda}\left(\frac{1}{\cos\phi}\frac{\partial f}{\partial\lambda}\right) + \frac{\partial}{\partial\phi}\left(\cos\phi\frac{\partial f}{\partial \phi}\right) + \frac{\partial}{\partial r}\left(r^2\cos\phi\frac{\partial f}{\partial r}\right)\right] \\ \nabla\times\pmb{A} &= \frac{1}{r}\left[{A_r}{\phi} - \frac{\partial}{\partial r}(rA_\phi)\right]\pmb{i} \nonumber \\ &+ \frac{1}{r\cos\phi}\left[\frac{\partial}{\partial r}(r\cos\phi A_\lambda) -\frac{\partial A_r}{\partial\lambda}\right]\pmb{j} \nonumber \\ &+ \frac{1}{r^2\cos\phi}\left[\frac{\partial}{\partial \lambda}(rA_\phi) - \frac{\partial}{\partial\phi}(r\cos\phi A_\lambda)\right]\pmb{k} \end{aligned}\]

A.4.3 全微分

全微分は、函数 \(f=f(t, x, y, z)\) の微小変化

\[\delta f = \frac{\partial f}{\partial t}\delta t + \frac{\partial f}{\partial x}\delta x + \frac{\partial f}{\partial y}\delta y + \frac{\partial f}{\partial z}\delta z + \cdots\]

の極限で定義される。

\[\begin{aligned} \frac{\mathrm{d}f}{\mathrm{d}t}\equiv\lim_{\delta t\rightarrow 0}\frac{\delta f}{\delta t} &= \frac{\partial f}{\partial t} + \frac{\partial f}{\partial x}\frac{x}{t} + \frac{\partial f}{\partial y}\frac{y}{t} + \frac{\partial f}{\partial z}\frac{z}{t} \nonumber \\ &= \frac{\partial f}{\partial t} + u\frac{\partial f}{\partial x} + v\frac{\partial f}{\partial y} + w\frac{\partial f}{\partial z} \nonumber \\ &= \frac{\partial f}{\partial t} + (\pmb{u}\cdot\nabla) f \end{aligned}\]

公式

\[(\pmb{u}\cdot\nabla)\pmb{u} = \frac{1}{2}\nabla|\pmb{u}|^2 - \pmb{u}\times(\nabla\times\pmb{u})\]

を用いる。

\[\begin{aligned} \frac{1}{2}\nabla|\pmb{u}|^2 &= \frac{1}{2}\nabla(u^2+v^2+w^2) \\ &=\frac{1}{r\cos\theta}\left(u\frac{\partial u}{\partial \lambda} + v\frac{\partial v}{\partial\lambda} + w\frac{\partial w}{\partial\lambda}\right)\pmb{i} \nonumber \\ &+ \frac{1}{r} \left(u\frac{\partial u}{\partial \phi} + v\frac{\partial v}{\partial\phi} + w\frac{\partial w}{\partial\phi}\right)\pmb{j} \nonumber \\ &+ \left(u\frac{\partial u}{\partial r} + v\frac{\partial v}{\partial r} + w\frac{\partial w}{\partial r}\right)\pmb{k} \end{aligned}\]

\[\begin{aligned} \nabla\times\pmb{u} = \frac{\pmb{i}}{r}\left[\frac{\partial w}{\partial\phi}-\frac{\partial}{\partial r}(rv)\right] &+ \frac{\pmb{j}}{r\cos\phi}\left[\frac{\partial}{\partial r}(ru\cos\phi)-\frac{\partial w}{\partial\lambda}\right] \nonumber \\ &+ \frac{\pmb{k}}{r\cos\phi}\left[\frac{\partial v}{\partial\lambda}-\frac{\partial}{\partial\phi}(u\cos\phi)\right] \end{aligned}\]

\[\begin{aligned} \nabla&\times(\nabla\times\pmb{u}) = \nonumber \\ &\left[\frac{v}{r\cos\phi}\left\{\frac{\partial v}{\partial\lambda} - \frac{\partial}{\partial\phi}(u\cos\phi)\right\}- \frac{w}{r\cos\phi}\left\{\frac{\partial}{\partial r}(ru\cos\phi)\frac{\partial w}{\partial\lambda}\right\}\right]\pmb{i} \nonumber \\ &+ \left[\frac{w}{r}\left\{\frac{\partial w}{\partial \phi} - \frac{\partial}{\partial r}(rv)\right\} - \frac{u}{r\cos\phi}\left\{\frac{\partial v}{\partial\lambda} - \frac{\partial}{\partial\phi}(u\cos\phi)\right\}\right]\pmb{j} \nonumber \\ &+ \left[\frac{u}{r\cos\phi}\left\{\frac{\partial}{\partial r}(ru\cos\phi)-\frac{\partial w}{\partial\lambda}\right\} - \frac{v}{r}\left\{\frac{\partial w}{\partial\phi} - \frac{\partial}{\partial r}(rv)\right\}\right]\pmb{k} \end{aligned}\]

これらを整理すると

\[\begin{aligned} \frac{\mathrm{d}\pmb{u}}{\mathrm{d}t} &= \frac{\partial\pmb{u}}{\partial t} + \pmb{u}\cdot\nabla\pmb{u} \nonumber \\ &= \left[\frac{\mathrm{d}u}{\mathrm{d}t} - \frac{uv\tan\phi}{r} + \frac{uw}{r}\right]\pmb{i} \nonumber \\ &+ \left[\frac{\mathrm{d}v}{\mathrm{d}t} + \frac{vw}{r} + \frac{u^2\tan\phi}{r}\right]\pmb{j} \nonumber \\ &+ \left[\frac{\mathrm{d}w}{\mathrm{d}t} - \frac{u^2+w^2}{r}\right]\pmb{k} \end{aligned}\]

を得る。

一方

\[\pmb{\Omega} = 0\pmb{i} + \Omega\cos\phi\pmb{j} + \Omega\sin\phi\pmb{k}\]

と書けるので、コリオリ項は

\[-2\pmb{\Omega}\times\pmb{u} = -2\Omega\left[(w\cos\phi - v\sin\phi)\pmb{i} +u\sin\phi\pmb{j} -v\cos\phi\pmb{k})\right]\]

となる。 結局、球座標で表した回転系の運動方程式は次のようになる。

\[\begin{aligned} \frac{\mathrm{d}u}{\mathrm{d}t} &- \frac{uv\tan\phi}{r} + \frac{uv}{r} = -\frac{1}{\rho r\cos\phi}\frac{\partial p}{\partial\lambda} + 2\Omega v\sin\phi - 2\Omega w\cos\phi + F_\lambda \\ \frac{\mathrm{d}v}{\mathrm{d}t} &+ \frac{u^2\tan\phi}{r} +\frac{vw}{r} = -\frac{1}{\rho r}\frac{\partial p}{\partial\phi} - 2\Omega u\sin\phi + F_\phi \\ \frac{\mathrm{d}w}{\mathrm{d}t} &- \frac{u^2+v^2}{r} = -\frac{1}{\rho}\frac{\partial p}{\partial r} - g + 2\Omega u\cos\phi + F_r \end{aligned}\]