Appendix A — 回転系の運動方程式

A.1 回転系

角速度 \(\pmb{\Omega}\) で回転する系を考える。 この系とともに回転する定ベクトル \(\pmb{A}\) とすると，静止系からみたこのベクトルの時間変化は次のようになる。

\[\dv{\pmb{A}}{t} = \pmb{\Omega}\times\pmb{A} \tag{A.1}\]

回転系からみた任意のベクトル \(\pmb{B}\) の時間変化（添字R）は，

\[\eval{\dv{\pmb{B}}{t}}_\mathrm{R} = \dv{B_1}{t}\pmb{i}_1 + \dv{B_2}{t}\pmb{i}_2 + \dv{B_3}{t}\pmb{i}_3\]

であるが，静止系から見ると \(\pmb{B}\) だけでなく，回転系の単位ベクトルも時間変化しているので

\[\eval{\dv{\pmb{B}}{t}}_\mathrm{I} = \eval{\dv{\pmb{B}}{t}}_\mathrm{R} + B_1\dv{\pmb{i}_1}{t} + B_2\dv{\pmb{i}_2}{t} + + B_3\dv{\pmb{i}_3}{t}\]

とすると，静止系からみたこのベクトルの時間変化は次のようになる。 単位ベクトルは定ベクトルなので，Equation A.1を適用すると

\[\begin{aligned} \eval{\dv{\pmb{B}}{t}}_\mathrm{I} &= \eval{\dv{\pmb{B}}{t}}_\mathrm{R} + B_1\pmb{\Omega}\times\pmb{i}_1 + B_2\pmb{\Omega}\times\pmb{i}_2 + B_3\pmb{\Omega}\times\pmb{i}_3 \\ &= \eval{\dv{\pmb{B}}{t}}_\mathrm{R} + \pmb{\Omega}\times\pmb{B} \end{aligned} \tag{A.2}\]

Equation A.2より位置ベクトル \(\pmb{r}\)の時間変化は，次のようになる。

\[\eval{\dv{\pmb{r}}{t}}_\mathrm{I} = \eval{\dv{\pmb{r}}{t}}_\mathrm{R} + \pmb{\Omega}\times\pmb{r} \tag{A.3}\]

この式は，静止系からみた速度 \(\pmb{u}_\mathrm{I}\equiv\dv*{\pmb{r}}{t}|_\mathrm{I}\) は，回転系からみた速度（相対速度）に剛体回転による速度 \(\pmb{\Omega}\times\pmb{r}\) を加えたものであることを示している。

\[\pmb{u}_\mathrm{I} = \pmb{u}_\mathrm{R} + \pmb{\Omega}\times\pmb{r} \tag{A.4}\]

\(\pmb{u}_\mathrm{I}\) に Equation A.3を適用すると

\[\eval{\dv{\pmb{u}_\mathrm{I}}{t}}_\mathrm{I} = \eval{\dv{\pmb{u}_\mathrm{I}}{t}}_\mathrm{R} + \pmb{\Omega}\times\pmb{u}_\mathrm{I}\]

この式の右辺を回転系の変数で表すためEquation A.4を代入すると

\[\eval{\dv{\pmb{u}_\mathrm{I}}{t}}_\mathrm{I} = \eval{\dv{\pmb{u}_\mathrm{R}}{t}}_\mathrm{R} + 2\pmb{\Omega}\times\pmb{u}_\mathrm{R} + \pmb{\Omega}\times(\pmb{\Omega}\times\pmb{r}) + \dv{\pmb{\Omega}}{t}\times\pmb{r}\]

右辺第2項 \(2\pmb{\Omega}\times\pmb{u}_\mathrm{R}\) はコリオリ力。 右辺第3項はベクトル解析の公式

\[\pmb{A}\times(\pmb{B}\times\pmb{C}) = (\pmb{A}\cdot\pmb{C})\pmb{B} - (\pmb{A}\cdot\pmb{B})\pmb{C}\]

を用いると次のようになる。

\[\pmb{\Omega}\times(\pmb{\Omega}\times\pmb{r}) = \pmb{\Omega}\times(\pmb{\Omega}\times\pmb{r}) = -\Omega^2\pmb{r}\]

ここで \(\pmb{r}=\pmb{r}\sin\theta\), \(\Omega\equiv|\pmb{\Omega}|\) である。 この項は遠心力を表す。 右辺の最後の項は，長い時間スケールを考えない限り無視できる。

A.2 運動方程式

静止系の運動方程式は

\[\dv{\pmb{u}}{t} = -\frac{1}{\rho}\nabla p + \pmb{F}\]

と表せる。 ここで \(\pmb{F}\) は外力や粘性力を表している。

遠心力を重力に含め，\(\pmb{g}\) と表すと，回転系の運動方程式は

\[\dv{\pmb{u}}{t} = -\frac{1}{\rho}\nabla p + \pmb{g} - 2\pmb{\Omega}\times\pmb{u}+ \pmb{F}\]

と書ける。

A.3 直交曲線座標

直交曲線座標 \((i_1, i_2, i_3)\) において，位置ベクトル

\[\pmb{r} = \pmb{r}(x, y, z) = \pmb{r}(i_1, i_2, i_3)\]

接線ベクトル

\[\pdv{\pmb{r}}{i_1},\,\pdv{\pmb{r}}{i_2},\,\pdv{\pmb{r}}{i_3}\]

の長さをスケールファクタ

\[h_1=\vqty{\pdv{\pmb{r}}{i_1}},\, h_2=\vqty{\pdv{\pmb{r}}{i_2}},\, h_3=\vqty{\pdv{\pmb{r}}{i_3}}\]

という。スケールファクタで接線ベクトルを規格化したものが基本ベクトル

\[\pmb{i}_1=\frac{1}{h_1}\pdv{\pmb{r}}{i_1},\, \pmb{i}_2=\frac{1}{h_2}\pdv{\pmb{r}}{i_2},\, \pmb{i}_3=\frac{1}{h_3}\pdv{\pmb{r}}{i_3}\]

である。

直交曲線座標における勾配，発散，ラプラシアン（勾配の発散），回転は以下のようになる。

\[\begin{aligned} \nabla f &= \frac{1}{h_1}\pdv{f}{i_1}\pmb{i}_1 + \frac{1}{h_2}\pdv{f}{i_2}\pmb{i}_2 + \frac{1}{h_3}\pdv{f}{i_3}\pmb{i}_3 \\ \nabla\cdot\pmb{A} &= \frac{1}{h_1h_2h_3}\qty[\pdv{}{i_1}(h_2h_3A_1) + \pdv{}{i_2}(h_3h_1A_2) + \pdv{}{i_3}(h_1h_2A_3)] \\ \nabla^2 f &= \frac{1}{h_1h_2h_3}\qty[\pdv{}{i_1}\qty(\frac{h_2h_3}{h_1}\pdv{f}{i_1}) + \pdv{}{i_2}\qty(\frac{h_3h_1}{h_2}\pdv{f}{i_2}) + \pdv{}{i_3}\qty(\frac{h_1h_2}{h_3}\pdv{f}{i_3})] \\ \nabla \times \pmb{A} &= \frac{1}{h_2h_3}\qty[\pdv{}{i_2}(h_3A_3) - \pdv{}{i_3}(h_2A_2)]\pmb{i}_1 \nonumber \\ &+ \frac{1}{h_3h_1}\qty[\pdv{}{i_3}(h_1A_1) - \pdv{}{i_1}(h_3A_3)]\pmb{i}_2 \nonumber \\ &+ \frac{1}{h_1h_2}\qty[\pdv{}{i_1}(h_2A_2) - \pdv{}{i_2}(h_1A_1)]\pmb{i}_3 \end{aligned}\]

A.4 球座標系

地球上の1点の座標は，経度 \(\lambda\) と緯度 \(\phi\) で表される。 数学では，球面上の座標を表すのに北極から測った余緯度$theta$を用いることが多い。 余緯度は \(\theta = \pi/2 - \phi\) で表され，北極が0，赤道が \(\pi/2\), 極が \(\pi\) である。 三角函数の加法定理より

\[\begin{aligned} \cos\theta &= \cos\qty(\frac{\pi}{2} - \phi) = \cos\frac{\pi}{2}\cos\phi + \sin\frac{\pi}{2}\sin\phi = \sin\phi \\ \sin\theta &= \sin\qty(\frac{\pi}{2} - \phi) = \sin\frac{\pi}{2}\cos\phi - \cos\frac{\pi}{2}\sin\phi = \cos\phi \end{aligned}\]

のように \(\cos\) と \(\sin\) とが入れ替わる。

球座標とデカルト座標との関係

\[\begin{aligned} x &= r\cos\lambda\cos\phi \\ y &= r\sin\lambda\cos\phi \\ z &= r\sin\phi \end{aligned}\]

本講義では，赤道平面上で \(x\) 軸は \(\lambda=0\) の方向に，\(y\) 軸は \(\lambda=\pi/2\) に取る。\(z\) 軸は原点から北極を向く方向に取る。 気象学では，それぞれの点で西風を \(u\), 南風を \(v\) で表す。

球座標上の微分

球座標のスケールファクタは

\[h_\lambda = r\cos\phi,\,h_\phi = r,\,h_r =1\]

である。

緯度 \(\phi=\pi/2 - \theta\) で表した球座標での勾配，発散，ラプラシアン（勾配の発散），回転は以下のようになる。

\[\begin{aligned} \nabla f &= \frac{1}{r\cos\phi}\pdv{f}{\lambda}\pmb{i} + \frac{1}{r}\pdv{f}{\phi}\pmb{j} + \pdv{f}{r}\pmb{k} \\ \nabla\cdot \pmb{A} &= \frac{1}{r^2\cos\phi}\qty[\pdv{}{\lambda}(rA_\lambda) + \pdv{}{\phi}(r\cos\phi A_\phi) + \pdv{}{r}(r^2\cos\phi A_r)] \\ \nabla^2f &= \frac{1}{r^2\cos\phi}\qty[ \pdv{}{\lambda}\qty(\frac{1}{\cos\phi}\pdv{f}{\lambda}) + \pdv{}{\phi}\qty(\cos\phi\pdv{f}{\phi}) + \pdv{}{r}\qty(r^2\cos\phi\pdv{f}{r})] \\ \nabla\times\pmb{A} &= \frac{1}{r}\qty[{A_r}{\phi} - \pdv{}{r}(rA_\phi)]\pmb{i} \nonumber \\ &+ \frac{1}{r\cos\phi}\qty[\pdv{}{r}(r\cos\phi A_\lambda) -\pdv{A_r}{\lambda}]\pmb{j} \nonumber \\ &+ \frac{1}{r^2\cos\phi}\qty[\pdv{}{\lambda}(rA_\phi) - \pdv{}{\phi}(r\cos\phi A_\lambda)]\pmb{k} \end{aligned}\]

全微分

全微分は，函数 \(f=f(t, x, y, z)\) の微小変化

\[\delta f = \pdv{f}{t}\delta t + \pdv{f}{x}\delta x + \pdv{f}{y}\delta y + \pdv{f}{z}\delta z + \cdots\]

の極限で定義される。

\[\begin{aligned} \dv{f}{t}\equiv\lim_{\delta t\rightarrow 0}\frac{\delta f}{\delta t} &= \pdv{f}{t} + \pdv{f}{x}\dv{x}{t} + \pdv{f}{y}\dv{y}{t} + \pdv{f}{z}\dv{z}{t} \nonumber \\ &= \pdv{f}{t} + u\pdv{f}{x} + v\pdv{f}{y} + w\pdv{f}{z} \nonumber \\ &= \pdv{f}{t} + (\pmb{u}\cdot\nabla) f \end{aligned}\]

公式

\[(\pmb{u}\cdot\nabla)\pmb{u} = \frac{1}{2}\nabla|\pmb{u}|^2 - \pmb{u}\times(\nabla\times\pmb{u})\]

を用いる。

\[\begin{aligned} \frac{1}{2}\nabla|\pmb{u}|^2 &= \frac{1}{2}\nabla(u^2+v^2+w^2) \\ &=\frac{1}{r\cos\theta}\qty(u\pdv{u}{\lambda} + v\pdv{v}{\lambda} + w\pdv{w}{\lambda})\pmb{i} \nonumber \\ &+ \frac{1}{r} \qty(u\pdv{u}{\phi} + v\pdv{v}{\phi} + w\pdv{w}{\phi})\pmb{j} \nonumber \\ &+ \qty(u\pdv{u}{r} + v\pdv{v}{r} + w\pdv{w}{r})\pmb{k} \end{aligned}\]

\[\begin{aligned} \nabla\times\pmb{u} = \frac{\pmb{i}}{r}\qty[\pdv{w}{\phi}-\pdv{}{r}(rv)] &+ \frac{\pmb{j}}{r\cos\phi}\qty[\pdv{}{r}(ru\cos\phi)-\pdv{w}{\lambda}] \nonumber \\ &+ \frac{\pmb{k}}{r\cos\phi}\qty[\pdv{v}{\lambda}-\pdv{}{\phi}(u\cos\phi)] \end{aligned}\]

\[\begin{aligned} \nabla&\times(\nabla\times\pmb{u}) = \nonumber \\ &\qty[\frac{v}{r\cos\phi}\qty{\pdv{v}{\lambda} - \pdv{}{\phi}(u\cos\phi)}- \frac{w}{r\cos\phi}\qty{\pdv{}{r}(ru\cos\phi)\pdv{w}{\lambda}}]\pmb{i} \nonumber \\ &+ \qty[\frac{w}{r}\qty{\pdv{w}{\phi} - \pdv{}{r}(rv)} - \frac{u}{r\cos\phi}\qty{\pdv{v}{\lambda} - \pdv{}{\phi}(u\cos\phi)}]\pmb{j} \nonumber \\ &+ \qty[\frac{u}{r\cos\phi}\qty{\pdv{}{r}(ru\cos\phi)-\pdv{w}{\lambda}} - \frac{v}{r}\qty{\pdv{w}{\phi} - \pdv{}{r}(rv)}]\pmb{k} \end{aligned}\]

これらを整理すると

\[\begin{aligned} \dv{\pmb{u}}{t} &= \pdv{\pmb{u}}{t} + \pmb{u}\cdot\nabla\pmb{u} \nonumber \\ &= \qty[\dv{u}{t} - \frac{uv\tan\phi}{r} + \frac{uw}{r}]\pmb{i} \nonumber \\ &+ \qty[\dv{v}{t} + \frac{vw}{r} + \frac{u^2\tan\phi}{r}]\pmb{j} \nonumber \\ &+ \qty[\dv{w}{t} - \frac{u^2+w^2}{r}]\pmb{k} \end{aligned}\]

を得る。

一方

\[\pmb{\Omega} = 0\pmb{i} + \Omega\cos\phi\pmb{j} + \Omega\sin\phi\pmb{k}\]

と書けるので，コリオリ項は

\[-2\pmb{\Omega}\times\pmb{u} = -2\Omega\qty[(w\cos\phi - v\sin\phi)\pmb{i} +u\sin\phi\pmb{j} -v\cos\phi\pmb{k})]\]

となる。 結局，球座標で表した回転系の運動方程式は次のようになる。

\[\begin{aligned} \dv{u}{t} &- \frac{uv\tan\phi}{r} + \frac{uv}{r} = -\frac{1}{\rho r\cos\phi}\pdv{p}{\lambda} + 2\Omega v\sin\phi - 2\Omega w\cos\phi + F_\lambda \\ \dv{v}{t} &+ \frac{u^2\tan\phi}{r} +\frac{vw}{r} = -\frac{1}{\rho r}\pdv{p}{\phi} - 2\Omega u\sin\phi + F_\phi \\ \dv{w}{t} &- \frac{u^2+v^2}{r} = -\frac{1}{\rho}\pdv{p}{r} - g + 2\Omega u\cos\phi + F_r \end{aligned}\]