Appendix B — 一般化鉛直座標
鉛直座標は，物理的な高さ\(z\)に限らない。\(z\)と1対1に対応する様々な変数を鉛直座標として用いることができる。まず，合成函数の偏微分の復習から始める。
B.1 合成函数の偏微分
\(f=f(x,y)\)，\(x=x(u,v)\)，\(y=y(u,v)\)がいずれも\(u\)，\(v\)に関して偏微分可能であれば，合成函数\(f=f((\varphi(u,v),\psi(u,v))\)は，\(u\)，\(v\)に関して偏微分可能で，
\[\begin{aligned} \eval{\pdv{f}{u}}_v &= \eval{\pdv{f}{x}}_y\eval{\pdv{x}{u}}_v + \eval{\pdv{f}{y}}_x\eval{\pdv{y}{u}}_v, \\ \eval{\pdv{f}{v}}_u &= \eval{\pdv{f}{x}}_y\eval{\pdv{x}{v}}_u + \eval{\pdv{f}{y}}_x\eval{\pdv{y}{v}}_u \end{aligned}\]
と書ける。今，\(x=u\), \(v=s\) 即ち \(y=z(x,s)\) の場合を考えると，
\[\eval{\pdv{f}{u}}_s = \eval{\pdv{f}{u}}_z + \eval{\pdv{f}{z}}_u\eval{\pdv{z}{u}}_s, \tag{B.1}\]
\[\eval{\pdv{f}{s}}_u = \eval{\pdv{f}{z}}_u\eval{\pdv{z}{s}}_u \tag{B.2}\]
となる。
B.2 一般化鉛直座標
Kasahara (1974) に基づいて，一般化された鉛直座標を導入する。Equation B.2を用いて，Equation B.1を書き換えると，
\[\eval{\pdv{f}{u}}_s = \eval{\pdv{f}{u}}_z +\eval{\pdv{s}{z}}_u\eval{\pdv{z}{u}}_s\eval{\pdv{f}{s}}_u\]
と書ける。\(u\)を水平座標\(x, y\)や時刻\(t\)と見なすと，
\[\begin{aligned} \qty(\pdv{f}{t})_s &= \qty(\pdv{f}{t})_z + \pdv{s}{z}\qty(\pdv{z}{t})_s\pdv{f}{s}, \\ \nabla_s f &= \nabla_z f + \pdv{s}{z}\nabla_s z\pdv{f}{s} \end{aligned} \tag{B.3}\]
と書ける。これらを使うと\(\dv*{}{t}\)は，
\[\dv{}{t}\equiv\qty(\pdv{}{t})_s+\pmb{v}\cdot\nabla_s+\dot{s}\pdv{}{s} \tag{B.4}\]
と表すことができる。ここで，
\[\dot{s} \equiv \dv{s}{t} = \pdv{s}{z}\qty[w-\qty(\pdv{z}{t})_s-\pmb{v}\cdot\nabla_s z]\]
である。\(s\) は一般化された鉛直座標，\(\dot{s}\)は一般化された鉛直速度である。
B.3 支配方程式系
\(s\)座標で静力学平衡は
\[g\pdv{z}{s}=-\dfrac{1}{\rho}\pdv{p}{s} \tag{B.5}\]
となる。 \(m = \rho\partial z/\partial s\)と置くと
\[ \frac{\partial p}{\partial s} = - mg \]
と書ける。\(m\)は一般化鉛直座標での「密度」と考えることができる。
Equation B.3，Equation B.4，Equation B.5を用いると，摩擦がないときの水平の運動方程式は，
\[\dv{\pmb{v}}{t}+f\pmb{k}\times\pmb{v}=-\dfrac{1}{\rho}\nabla_s p-g\nabla_s z\]
と書ける。 また，連続の式は
\[\pdv{}{t}\qty(\pdv{p}{s})+\nabla_s\cdot\qty(\pmb{v}\pdv{p}{s})+\pdv{}{s}\qty(\dot{s}\pdv{p}{s})=0\]
と変形される。熱力学の式は全微分で表されるので，形は変わらない。ただし，全微分はEquation B.4で表される。