Appendix B — 一般化鉛直座標
鉛直座標は，物理的な高さ\(z\)に限らない。\(z\)と1対1に対応する様々な変数を鉛直座標として用いることができる。まず，合成函数の偏微分の復習から始める。
B.1 合成函数の偏微分
\(f=f(x,y)\)，\(x=x(u,v)\)，\(y=y(u,v)\)がいずれも\(u\)，\(v\)に関して偏微分可能であれば，合成函数\(f=f((\varphi(u,v),\psi(u,v))\)は，\(u\)，\(v\)に関して偏微分可能で，
\[\begin{aligned} \left.\frac{\partial f}{\partial u}\right|_v &= \left.\frac{\partial f}{\partial x}\right|_y\left.\frac{\partial x}{\partial u}\right|_v + \left.\frac{\partial f}{\partial y}\right|_x\left.\frac{\partial y}{\partial u}\right|_v, \\ \left.\frac{\partial f}{\partial v}\right|_u &= \left.\frac{\partial f}{\partial x}\right|_y\left.\frac{\partial x}{\partial v}\right|_u + \left.\frac{\partial f}{\partial y}\right|_x\left.\frac{\partial y}{\partial v}\right|_u \end{aligned}\]
と書ける。今，\(x=u\), \(v=s\) 即ち \(y=z(x,s)\) の場合を考えると，
\[\left.\frac{\partial f}{\partial u}\right|_s = \left.\frac{\partial f}{\partial u}\right|_z + \left.\frac{\partial f}{\partial z}\right|_u\left.\frac{\partial z}{\partial u}\right|_s, \tag{B.1}\]
\[\left.\frac{\partial f}{\partial s}\right|_u = \left.\frac{\partial f}{\partial z}\right|_u\left.\frac{\partial z}{\partial s}\right|_u \tag{B.2}\]
となる。
B.2 一般化鉛直座標
Kasahara (1974) に基づいて，一般化された鉛直座標を導入する。Equation B.2を用いて，Equation B.1を書き換えると，
\[\left.\frac{\partial f}{\partial u}\right|_s = \left.\frac{\partial f}{\partial u}\right|_z +\left.\frac{\partial s}{\partial z}\right|_u\left.\frac{\partial z}{\partial u}\right|_s\left.\frac{\partial f}{\partial s}\right|_u\]
と書ける。\(u\)を水平座標\(x, y\)や時刻\(t\)と見なすと，
\[\begin{aligned} \left(\frac{\partial f}{\partial t}\right)_s &= \left(\frac{\partial f}{\partial t}\right)_z + \frac{\partial s}{\partial z}\left(\frac{\partial z}{\partial t}\right)_s\frac{\partial f}{\partial s}, \\ \nabla_s f &= \nabla_z f + \frac{\partial s}{\partial z}\nabla_s z\frac{\partial f}{\partial s} \end{aligned} \tag{B.3}\]
と書ける。これらを使うと\(\mathrm{d}/\mathrm{d}t\)は，
\[\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\equiv\left(\frac{\partial }{\partial t}\right)_s+\pmb{v}\cdot\nabla_s+\dot{s}\frac{\partial }{\partial s} \tag{B.4}\]
と表すことができる。ここで，
\[\dot{s} \equiv \frac{\mathrm{d}s}{\mathrm{d}t} = \frac{\partial s}{\partial z}\left[w-\left(\frac{\partial z}{\partial t}\right)_s-\pmb{v}\cdot\nabla_s z\right]\]
である。\(s\) は一般化された鉛直座標，\(\dot{s}\)は一般化された鉛直速度である。
B.3 支配方程式系
\(s\)座標で静力学平衡は
\[g\frac{\partial z}{\partial s}=-\dfrac{1}{\rho}\frac{\partial p}{\partial s} \tag{B.5}\]
となる。 \(m = \rho\partial z/\partial s\)と置くと
\[ \frac{\partial p}{\partial s} = - mg \]
と書ける。\(m\)は一般化鉛直座標での「密度」と考えることができる。
Equation B.3，Equation B.4，Equation B.5を用いると，摩擦がないときの水平の運動方程式は，
\[\frac{\mathrm{d}\pmb{v}}{\mathrm{d}t}+f\pmb{k}\times\pmb{v}=-\dfrac{1}{\rho}\nabla_s p-g\nabla_s z\]
と書ける。 また，連続の式は
\[\frac{\partial }{\partial t}\left(\frac{\partial p}{\partial s}\right)+\nabla_s\cdot\left(\pmb{v}\frac{\partial p}{\partial s}\right)+\frac{\partial }{\partial s}\left(\dot{s}\frac{\partial p}{\partial s}\right)=0\]
と変形される。熱力学の式は全微分で表されるので，形は変わらない。ただし，全微分はEquation B.4で表される。