5  渦位

5.1 順圧渦位

浅水波方程式系，摩擦なしで保存する(Rossby 1940)。

\[P = \frac{f + \zeta}{h}\]

\[\begin{aligned} \begin{aligned} \dv{}{t}(f+\zeta) + (f + \zeta)\nabla\cdot\pmb{v} &= 0 \\ \dv{h}{t} + h\nabla\cdot\pmb{v} &= 0 \end{aligned} \end{aligned}\]

から

\[\dv{}{t}\left(\frac{f+\zeta}{h}\right)\]

が得られる。

二つの等温位面の厚さを

\[\Delta\equiv -\frac{\delta p}{g}\]

とすると

\[P = \frac{f + \zeta_\theta}{\Delta}\]

と書ける。

5.2 傾圧渦位

[Ertel (1942a);Ertel (1942b);Ertel (1942c);Ertel (1942d)](英訳 Schubert et al. 2004)は次の傾圧渦位を導出した。

\[P = \frac{\pmb{\omega}_a}{\rho}\cdot\nabla\theta\]

\[\begin{aligned} \begin{aligned} \dv{\pmb{\omega}_a}{t} &= (\pmb{\omega}_a\cdot\nabla)\pmb{u} - \pmb{\omega}_a\nabla\cdot\pmb{u} +\frac{1}{\rho^2}(\nabla\rho\times\nabla p)+\nabla\times\frac{\pmb{F}}{\rho}\\ \dv{\rho}{t} &= -\rho\nabla\cdot\pmb{u} \end{aligned} \end{aligned}\]

より

\[\dv{}{t}\left(\frac{\pmb{\omega}_a}{\rho}\right) = \left(\frac{\pmb{\omega}_a}{\rho}\cdot\nabla\right)\pmb{u} + \frac{1}{\rho^3}(\nabla\rho\times\nabla p) + \frac{1}{\rho}\nabla\times\frac{\pmb{F}}{\rho} \tag{5.1}\]

\(\nabla\theta\)とEquation 5.1との内積

\[\nabla\theta\cdot\dv{}{t}\left(\frac{\pmb{\omega}_a}{\rho}\right) = \nabla\theta\cdot\left(\frac{\pmb{\omega}_a}{\rho}\cdot\nabla\right)\pmb{u} + \nabla\theta\cdot\frac{1}{\rho^3}(\nabla\rho\times\nabla p) + \frac{\nabla\theta}{\rho}\cdot\nabla\times\frac{\pmb{F}}{\rho}\]

\[\frac{\pmb{\omega}_a}{\rho}\cdot\dv{}{t}\nabla\theta = \left(\frac{\pmb{\omega}_a}{\rho}\cdot\nabla\right)\dv{\theta}{t}-\left[\left(\frac{\omega_a}{\rho}\cdot\nabla\right)\pmb{u}\right]\cdot\nabla\theta\]

を用いると

\[\dv{}{t}\left[\frac{\pmb{\omega}_a}{\rho}\cdot\nabla\theta\right] = \left(\frac{\pmb{\omega}_a}{\rho}\cdot\nabla\right)\frac{Q}{\Pi} + \nabla\theta\cdot\frac{1}{\rho^3}(\nabla\rho\times\nabla p) + \frac{\nabla\theta}{\rho}\cdot\nabla\times\frac{\pmb{F}}{\rho}\]

が得られる。

傾圧渦位

\[P = \frac{\pmb{\omega}_a}{\rho}\cdot\nabla\theta \tag{5.2}\]

は以下の条件で保存

\[\dv{P}{t} = 0\]

  1. 非断熱加熱なし（\(Q=0\)），つまり\(\theta\)が保存
  2. 摩擦なし（\(\nabla{F}=0\)）
  3. 順圧\(\nabla\rho\times\nabla p=0\)または\(\theta=\theta(\rho, p)\)

5.3 等圧面渦位

静力学平衡を仮定すると\(p\)座標の「密度」は

\[m=\rho\pdv{z}{p}=-1/g\]

と表されるので等圧面渦位は

\[P = -g\pmb{\omega}_a\cdot\nabla\theta\]

と表される。

5.4 等温位面渦位

等温位座標の気圧傾度力を求める。 温位\(\theta\equiv T\qty(p/p_p)^{-\kappa}\)の対数微分

\[\nabla_\theta\ln\theta = \nabla_\theta\ln T -\frac{R}{c_p}\nabla_\theta\ln p = 0\]

より

\[\frac{1}{\rho}\nabla_\theta p = \nabla_\theta c_p T\]

と書ける。したがって気圧傾度力は

\[-\frac{1}{\rho}\nabla_z p = -\frac{1}{\rho}\nabla_\theta p - g\nabla_\theta z = -\nabla_\theta M\]

ここで

\[M \equiv c_p T + gz\]

はMontgomery流線函数である。

運動方程式

\[\pdv{\pmb{v}}{t} + \nabla_\theta\left(\frac{1}{2}|\pmb{v}|^2+M\right) + (f + \zeta_\theta)\pmb{k}\times\pmb{v} = \pmb{F} - \dot{\theta}\pdv{\pmb{v}}{\theta}\]

に\(\pmb{k}\cdot\nabla_\theta\times\)を作用させると

\[\dv{}{t}(f+\zeta_\theta) + (f + \zeta_\theta)\nabla_\theta\cdot\pmb{v} = \pmb{k}\cdot\nabla_\theta\times\left(\pmb{F} - \dot{\theta}\pdv{\pmb{v}}{\theta}\right) \tag{5.3}\]

が得られる。ここで\(\displaystyle \dv{}{t} \equiv \pdv{}{t} + \pmb{v}\cdot\nabla_\theta\)である。

連続の式

\[\dv{m}{t} + m\nabla_\theta\cdot\pmb{v} = -\dot\theta\pdv{m}{\theta} -m\pdv{\dot\theta}{\theta} = - \pdv{}{\theta}(m\dot\theta)\]

を用いて渦度方程式Equation 5.3から\(\nabla_\theta\cdot\pmb{v}\)を消去すると

\[\dv{P}{t} = \frac{P}{m}\pdv{}{\theta}(m\dot\theta) + \frac{1}{m}\pmb{k}\cdot\nabla_\theta\times\left(\pmb{F} - \dot\theta\pdv{\pmb{v}}{\theta}\right)\]

\[P \equiv \frac{f + \zeta_\theta}{m}\]

は断熱\(\dot\theta=0\)，摩擦なし\(\pmb{F}=0\)のときに保存する。

静力学平衡\(m=-g^{-1}\pdv*{p}{\theta}\)を仮定すると

\[P = -g\frac{f + \zeta_\theta}{\partial p / \partial\theta}\]

を得る。

摩擦がないとき

\[\dv{}{t}\iint_A\pmb{\omega}_a\cdot\pmb{n}\dd A = \iint_A\left(\frac{\nabla\rho\times\nabla p}{\rho^2}\right)\cdot\pmb{n}\dd A\]

等温位面では右辺\(=0\)。\(A\)の境界\(C\)でKelvinの定理が成り立つ。

微小領域\(\delta A\) で

\[\dv{}{t}\left(\pmb{\omega}_a\cdot\pmb{n}\delta A\right) = 0\]

\(\theta\)と\(\theta-\delta \theta\)で挟まれた微小な柱

\[\delta m = \rho\delta A \delta\ell = \rho\delta A \frac{\delta\theta}{|\nabla\theta|}\]

を考える。

\[\delta A = \frac{\delta m}{\rho}\frac{|\nabla\theta|}{\delta\theta}\]

\(\delta\theta=|\nabla\theta|\pmb{n}\)なので

\[\dv{}{t} \left(\frac{\pmb{\omega}_a\cdot\nabla\theta}{\rho}\frac{\delta m}{\delta\theta}\right)=0\]

\(\delta m, \delta\theta\) は共に定数なので，Equation 5.2は保存する。