2  準地衡方程式系と鉛直循環

この講義では，準地衡風方程式系における鉛直循環について学ぶ。簡潔に表記される気圧に基づく鉛直座標を用いる。

2.1 気圧座標

一般化された鉛直座標（Appendix B）で\(s = p\)とすると，\(p\)座標における支配方程式系は次のように書ける。

運動方程式

\[\frac{\mathrm{d}\pmb{v}}{\mathrm{d}t} + f\pmb{k}\times\pmb{v} = -g\nabla z\]

ここで

\[\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t} = \frac{\partial}{\partial t} + \pmb{v}\cdot\nabla + \omega\frac{\partial}{\partial p},\;\omega \equiv \frac{\mathrm{d}p}{\mathrm{d}t} \tag{2.1}\]

静力学平衡

\[g\frac{\partial z}{\partial p} = -\alpha,\; \alpha\equiv \dfrac{1}{\rho}\]

連続の式

\[\nabla\cdot\pmb{v}+\frac{\partial\omega}{\partial p}=0\]

熱力学の式

\[\frac{\mathrm{d}\ln\theta}{\mathrm{d}t} = \frac{\dot{Q}}{c_pT} \tag{2.2}\]

2.2 準地衡風方程式系

\(\beta\)平面近似

\[f = f_0+\beta y,\;\beta\equiv\frac{\mathrm{d}f}{\mathrm{d}y}\]

地衡風

\[\begin{aligned} u_\mathrm{g} &= -\dfrac{1}{f_0}\frac{\partial\phi}{\partial y} \\ v_\mathrm{g} &= \dfrac{1}{f_0}\frac{\partial\phi}{\partial x} \end{aligned} \tag{2.3}\]

ラグランジュ微分とオイラー微分との関係

\[\frac{\mathrm{d}_\mathrm{g}}{\mathrm{d}t} = \frac{\partial}{\partial t} + u_\mathrm{g}\frac{\partial}{\partial x} + v_\mathrm{g}\frac{\partial}{\partial y}\]

運動方程式

\[\frac{\mathrm{d}_\mathrm{g}u_\mathrm{g}}{\mathrm{d}t} = f_0v_\mathrm{a} +\beta yv_\mathrm{g} \tag{2.4}\]

\[\frac{\mathrm{d}_\mathrm{g}v_\mathrm{g}}{\mathrm{d}t} =-f_0u_\mathrm{a} -\beta yu_\mathrm{g} \tag{2.5}\]

Equation 2.5を\(x\)で微分したものから，Equation 2.4を\(y\)で微分したものを引くと，渦度方程式

\[\frac{\mathrm{d}_\mathrm{g}\zeta_\mathrm{g}}{\mathrm{d}t} + \beta v_\mathrm{g} = \frac{\mathrm{d}_\mathrm{g}}{\mathrm{d}t}(f + \zeta_\mathrm{g}) = f_0\frac{\partial\omega}{\partial p}\]

が得られる。ここで準地衡渦度\(\zeta_\mathrm{g}\)は

\[\zeta_\mathrm{g} \equiv \frac{\partial v_\mathrm{g}}{\partial x}-\frac{\partial u_\mathrm{g}}{\partial y} = \frac{1}{f_0}\nabla^2\phi \tag{2.6}\]

と定義される。

静力学平衡

\[\frac{\partial \phi}{\partial p} = -\alpha \tag{2.7}\]

連続の式

\[\nabla \cdot \pmb{v}_\mathrm{g} = 0 \tag{2.8}\]

\[\nabla \cdot \pmb{v}_\mathrm{a}+\frac{\partial \omega}{p} = 0 \tag{2.9}\]

熱力学の式

\[\frac{\mathrm{d}_\mathrm{g}\theta}{\mathrm{d}t}+\omega\frac{\mathrm{d}\theta_0}{\mathrm{d}p}=\frac{\theta_0}{c_pT_0}\dot{Q}\]

ここで\(\theta\)は，基本場\(\theta_0(p)\)からのずれで，偏差を示す\('\)は省略する。

\[\theta_{\mathrm{total}}(x, y, p, t) = \theta_0(p) + \theta(x, y, p, t)\]

熱力学の式は気温\(T\)を使って

\[\frac{\mathrm{d}_\mathrm{g}T}{\mathrm{d}t} -\frac{p}{R}S_0\omega = \frac{\dot{Q}}{c_p} \tag{2.10}\]

と表すこともできる。ここで

\[S_0\equiv-\frac{\alpha_0}{\theta_0}\frac{\mathrm{d}\theta_0}{\mathrm{d}p}\]

は，基本場の安定度を示す。 また，Equation 2.7を用いると

\[\frac{\mathrm{d}_\mathrm{g}}{\mathrm{d}t} \left(\frac{\partial\phi}{\partial p}\right) + S_0\omega = -\frac{R\dot{Q}}{c_p p} \tag{2.11}\]

と書ける。

2.3 \(\omega\)方程式

準地衡風方程式系における鉛直循環を診断する古典的な\(\omega\)方程式を導出する。 簡単のため，\(f\)平面（\(f=f_0\)）上で断熱（非断熱加熱\(\dot{Q}=0\)）の場合を考える。 渦度方程式Equation 2.6を\(f_0\)倍して\(p\)で微分したものから，熱力学方程式Equation 2.11に\(\nabla^2\)を作用させたものを引くと

\[\left(S_0\nabla^2 + f_0^2\frac{\partial^2}{\partial p^2}\right)\omega = F_1 + F_2\]

を得る。ここで

\[\begin{aligned} F_1 &= f_0\frac{\partial }{\partial p}\left(u_\mathrm{g}\frac{\partial }{\partial x} + v_\mathrm{g}\frac{\partial }{\partial y}\right)\left(f + \zeta_\mathrm{g}\right) \\ F_2 &= \nabla^2\left(u_\mathrm{g}\frac{\partial }{\partial x} + v_\mathrm{g}\frac{\partial }{\partial y}\right)\left(-\frac{\partial \phi}{\partial p}\right) \end{aligned}\]

である。\(F_1\)は絶対渦度の移流の高度変化を表し，差分渦度移流（differential vorticity advection）と呼ばれる。 \(F_2\)は，温度移流の\(\nabla^2\)に比例する。両者には異符号の共通項があり相殺するため，必ずしも適切な解釈ができるとは限らない。

2.4 Qベクトル

以下のように温度風平衡から導出すると，鉛直流\(\omega\)を駆動する強制項を簡潔に表現することができ，古典的な\(\omega\)方程式に比べて明瞭な解釈が可能である。

2.4.1 Qベクトルの導出

\(f\)平面（\(f=f_0\)）上で断熱（非断熱加熱\(\dot{Q}=0\)）のとき運動方程式Equation 2.4，Equation 2.5は

\[\frac{\mathrm{d}_\mathrm{g}u_\mathrm{g}}{\mathrm{d}t}=f_0v_\mathrm{a},\; \frac{\mathrm{d}_\mathrm{g}v_\mathrm{g}}{\mathrm{d}t} = -f_0u_\mathrm{a}\]

となる。 Equation 2.3の右辺を\(p\)で微分し，静力学平衡Equation 2.7を用いると温度風平衡

\[f_0\frac{\partial u_\mathrm{g}}{\partial p} =\frac{R}{p}\frac{\partial T}{\partial y} \tag{2.12}\]

\[f_0\frac{\partial v_\mathrm{g}}{\partial p} =-\frac{R}{p}\frac{\partial T}{\partial x} \tag{2.13}\]

が得られる。 Equation 2.12の右辺のラグランジュ微分（\(\mathrm{d}_g/\mathrm{d}t\)）をとると

\[\frac{\mathrm{d}_\mathrm{g}}{\mathrm{d}t}\left(\frac{R}{p}\frac{\partial T}{\partial y}\right) = S_0\frac{\partial\omega}{\partial y}+Q_y \tag{2.14}\]

となる。ここで，

\[Q_y \equiv -\frac{R}{p}\frac{\partial\pmb{v}_\mathrm{g}}{\partial y}\cdot\nabla T \tag{2.15}\]

である。 Equation 2.12の左辺をラグランジュ微分し，Equation 2.12，Equation 2.13を用いると

\[\frac{\mathrm{d}_\mathrm{g}}{\mathrm{d}t}\left(f_0\frac{\partial u_\mathrm{g}}{\partial p}\right) = f_0^2\frac{\partial v_\mathrm{a}}{\partial p}-Q_y \tag{2.16}\]

となる。 Equation 2.14，Equation 2.16より，

\[S_0\frac{\partial \omega}{\partial y}-f_0^2\frac{\partial v_\mathrm{a}}{\partial p} = -2Q_y \tag{2.17}\]

が得られる。 同様にEquation 2.12のラグランジュ微分から，

\[S_0\frac{\partial \omega}{\partial x}-f_0^2\frac{\partial u_\mathrm{a}}{\partial p} = -2Q_x \tag{2.18}\]

\[Q_x \equiv -\frac{R}{p}\frac{\partial \pmb{v}_\mathrm{g}}{\partial x}\cdot\nabla T \tag{2.19}\]

を得る。 Equation 2.17を\(y\)，Equation 2.18を\(x\)で微分して加え, 連続の式Equation 2.9を用いると \(\omega\) に関する診断の式

\[\left(S_0\nabla^2+f_0^2\frac{\partial^2}{\partial p^2}\right)\omega = -2\nabla\cdot\pmb{Q} \tag{2.20}\]

を得る。ここで\(\pmb{Q}\equiv(Q_x, Q_y)\)はQベクトルと呼ばれる(Hoskins et al. 1978) 。

2.4.2 非地衡風成分の役割

準地衡風方程式系における非地衡風成分の役割について考えよう。非地衡風成分がないとき，Equation 2.14は地衡風成分のみで強制された気温傾度の時間変化

\[\frac{\mathrm{d}_\mathrm{g}}{\mathrm{d}t}\left(\frac{R}{p}\frac{\partial T}{\partial y}\right) = Q_y\]

Equation 2.16は鉛直シアの変化

\[\frac{\mathrm{d}_\mathrm{g}}{\mathrm{d}t}\left(f_0\frac{\partial u_\mathrm{g}}{\partial p}\right) = -Q_y\]

を表す。これらは大きさが同じで符号が反対なので，温度風平衡を壊すように働いている。つまり，温度風平衡は非地衡風成分による鉛直循環により維持されている。

2.4.3 Qベクトルの見方

高度場や気温の分布が与えられたときに，Qベクトルがどのようになるか理解するため，簡単な場合について考えてみよう(Sanders and Hoskins 1990) 。 Equation 2.15及びEquation 2.19で等温線と平行に\(x\)軸をとると\(\partial T/\partial x = 0\)となるので

\[\pmb{Q} = -\frac{R}{p}\frac{\partial T}{\partial y}\left(\frac{\partial v_\mathrm{g}}{\partial x},-\frac{\partial u_\mathrm{g}}{\partial x}\right) = -\frac{R}{p}\left|\frac{\partial T}{\partial y}\right|\left(\pmb{k}\times\frac{\partial \pmb{v}_\mathrm{g}}{\partial x}\right) \tag{2.21}\]

と変形することができる。すなわち，\(\pmb{Q}\)は左手が寒気となるようにとった\(x\)軸方向に沿う地衡風ベクトルの変化（\(\partial \pmb{v}_\mathrm{g}/\partial x\)）を90° 時計回りに回転（\(-\pmb{k}\times\)したものに比例（\(R/p\vqty{\partial T/\partial y}\)）する。

Qベクトルの性質をまとめると以下の通りである。

  • Qベクトルは，収束域で上昇流，発散域で下降流を強制するEquation 2.20。
  • Qベクトルは，北風から南風に変わる低気圧の中心では東向き（温度風の向き），南から北風に変わる高気圧の中心では西向き（温度風と反対向き）となり，低気圧の前面で上昇流，後面で下降流を強制する。
  • 等温線と等高線が平行で温度移流のない場合でも，風向きが北西から南西に変わる谷（トラフ）でQベクトルは東向きとなり，低気圧の前面に上昇流を強制する。
  • 北風と南風とが合流する前線形成場では，東ほど風が強くなるため，Qベクトルは南向きとなり，前線の南の温暖域で上昇流を強制する。
  • 暖気に向いたQベクトルは前線形成，等温線と平行なQベクトルは不活発，寒気に向いたQベクトルは前線消滅を示す。

連続の式を用いずにEquation 2.21を

\[\pmb{Q} = -\frac{R}{p}\frac{\partial T}{\partial y}\left(\frac{\partial v_\mathrm{g}}{\partial x},\frac{\partial v_\mathrm{g}}{\partial y}\right) \tag{2.22}\]

と表すと，\(v_\mathrm{g}\)のシアーのみでQベクトルが決まる（Equation 2.22）。 \(\partial v_\mathrm{g}/\partial x\)は北風最大の西で負，東で正，\(\partial v_\mathrm{g}/\partial y\)は北風最大の北で正，南でなので，北風最大の周りでQベクトルは発散する。

南北温度傾度のみ場合の場における低気圧に伴うQベクトル(Enomoto 2019)

2.5 実際の例

NCEP/NCAR再解析(Kalnay et al. 1996)を用いて行なったQベクトル解析の例を示す。

2.5.1 北米東岸の低気圧

1975年11月10日0 UTC，北米東岸の低気圧(Hoskins and Pedder 1980)の例では，700 hPa面の谷の後面（西側）に寒気がある) 。 これに対応して，下降流とこれに対応するQベクトルの発散が見られる。 低気圧の前面では，Qベクトルが収束している。これよりも弱いが，寒冷前線でもQベクトルが見られる。等温線を横切っているので，前線形成が示唆される。一方，温暖前線ではQベクトルは等温線に平行であり重要でないことが分る。

2.5.2 西日本豪雨

2018年6月下旬から7月上旬にかけて，台風や梅雨前線の影響により，西日本の広い範囲で記録的な降水量を観測し， 各地で水害や土砂災害を引き起こした。 気象庁が「平成30年7月豪雨」と命名したこの現象は「西日本豪雨」として知られている。 降水量のピークは7月6日であったが，これに先行する7月4日に台風第7号が日本海を北東進し温低化している。 北風の極大からQベクトルが発散し，大陸から西日本に伸びる暖域に向かって収束している。 したがって，台風は梅雨前線の強化に寄与したと考えられる(Enomoto 2019) 。

課題
  1. Equation 2.4，Equation 2.5から絶対渦度方程式Equation 2.6を導出せよ。
  2. Equation 2.7を用いてEquation 2.10を\(\partial \phi/\partial p\)で表し、Equation 2.11を導出せよ。
  3. 絶対渦度方程式と\(\partial \phi/\partial p\)で表した熱力学の式から時間微分の項を消去して，\(\omega\)方程式を導き，Equation 2.20と比較せよ。
  4. 低気圧の事例を選んでQベクトルを描け。領域はどこでもよい。高度を変えるとどうなるか。 参考: Pythonによる気象データサイエンス 梅雨前線