2 準地衡方程式系と鉛直循環

この講義では，準地衡風方程式系における鉛直循環について学ぶ。簡潔に表記される気圧に基づく鉛直座標を用いる。

2.1 気圧座標

一般化された鉛直座標（Appendix B）で\(s = p\)とすると，\(p\)座標における支配方程式系は次のように書ける。

運動方程式

\[\dv{\pmb{v}}{t} + f\pmb{k}\times\pmb{v} = -g\nabla z\]

ここで

\[\dv{}{t} = \pdv{}{t} + \pmb{v}\cdot\nabla + \omega\pdv{}{p},\;\omega \equiv \dv{p}{t} \tag{2.1}\]

静力学平衡

\[g\pdv{z}{p} = -\alpha,\; \alpha\equiv \dfrac{1}{\rho}\]

連続の式

\[\nabla\cdot\pmb{v}+\pdv{\omega}{p}=0\]

熱力学の式

\[\dv{\ln\theta}{t} = \frac{\dot{Q}}{c_pT} \tag{2.2}\]

2.2 準地衡風方程式系

\(\beta\)平面近似

\[f = f_0+\beta y,\;\beta\equiv\dv{f}{y}\]

地衡風

\[\begin{aligned} u_\mathrm{g} &= -\dfrac{1}{f_0}\pdv{\phi}{y} \\ v_\mathrm{g} &= \dfrac{1}{f_0}\pdv{\phi}{x} \end{aligned} \tag{2.3}\]

ラグランジュ微分とオイラー微分との関係

\[\dv{_\mathrm{g}}{t} = \pdv{}{t} + u_\mathrm{g}\pdv{}{x} + v_\mathrm{g}\pdv{}{y}\]

運動方程式

\[\dv{_\mathrm{g}u_\mathrm{g}}{t} = f_0v_\mathrm{a} +\beta yv_\mathrm{g} \tag{2.4}\]

\[\dv{_\mathrm{g}v_\mathrm{g}}{t} =-f_0u_\mathrm{a} -\beta yu_\mathrm{g} \tag{2.5}\]

Equation 2.5を\(x\)で微分したものから，Equation 2.4を\(y\)で微分したものを引くと，渦度方程式

\[\dv{_\mathrm{g}\zeta_\mathrm{g}}{t} + \beta v_\mathrm{g} = \dv{_\mathrm{g}}{t}(f + \zeta_\mathrm{g}) = f_0\pdv{\omega}{p}\]

が得られる。ここで準地衡渦度\(\zeta_\mathrm{g}\)は

\[\zeta_\mathrm{g} \equiv \pdv{v_\mathrm{g}}{x}-\pdv{u_\mathrm{g}}{y} = \frac{1}{f_0}\nabla^2\phi \tag{2.6}\]

と定義される。

静力学平衡

\[\pdv{\phi}{p} = -\alpha \tag{2.7}\]

連続の式

\[\nabla \cdot \pmb{v}_\mathrm{g} = 0 \tag{2.8}\]

\[\nabla \cdot \pmb{v}_\mathrm{a}+\pdv{\omega}{p} = 0 \tag{2.9}\]

熱力学の式

\[\dv{_\mathrm{g}\theta}{t}+\omega\dv{\theta_0}{p}=\frac{\theta_0}{c_pT_0}\dot{Q}\]

ここで\(\theta\)は，基本場\(\theta_0(p)\)からのずれで，偏差を示す\('\)は省略する。

\[\theta_{\mathrm{total}}(x, y, p, t) = \theta_0(p) + \theta(x, y, p, t)\]

熱力学の式は気温\(T\)を使って

\[\dv{_\mathrm{g}T}{t} -\frac{p}{R}S_0\omega = \frac{\dot{Q}}{c_p} \tag{2.10}\]

と表すこともできる。ここで

\[S_0\equiv-\frac{\alpha_0}{\theta_0}\dv{\theta_0}{p}\]

は，基本場の安定度を示す。また，Equation 2.7を用いると

\[\dv{_\mathrm{g}}{t} \qty(\pdv{\phi}{p}) + S_0\omega = -\frac{R\dot{Q}}{c_p p} \tag{2.11}\]

と書ける。

2.3 \(\omega\)方程式

準地衡風方程式系における鉛直循環を診断する古典的な\(\omega\)方程式を導出する。簡単のため，\(f\)平面（\(f=f_0\)）上で断熱（非断熱加熱\(\dot{Q}=0\)）の場合を考える。渦度方程式Equation 2.6を\(f_0\)倍して\(p\)で微分したものから，熱力学方程式Equation 2.11に\(\nabla^2\)を作用させたものを引くと

\[\qty(S_0\nabla^2 + f_0^2\pdv[2]{}{p})\omega = F_1 + F_2\]

を得る。ここで

\[\begin{aligned} F_1 &= f_0\pdv{}{p}\qty(u_\mathrm{g}\pdv{}{x} + v_\mathrm{g}\pdv{}{y})\qty(f + \zeta_\mathrm{g}) \\ F_2 &= \nabla^2\qty(u_\mathrm{g}\pdv{}{x} + v_\mathrm{g}\pdv{}{y})\qty(-\pdv{\phi}{p}) \end{aligned}\]

である。\(F_1\)は絶対渦度の移流の高度変化を表し，差分渦度移流（differential vorticity advection）と呼ばれる。 \(F_2\)は，温度移流の\(\nabla^2\)に比例する。両者には異符号の共通項があり相殺するため，必ずしも適切な解釈ができるとは限らない。

2.4 Qベクトル

以下のように温度風平衡から導出すると，鉛直流\(\omega\)を駆動する強制項を簡潔に表現することができ，古典的な\(\omega\)方程式に比べて明瞭な解釈が可能である。

Qベクトルの導出

\(f\)平面（\(f=f_0\)）上で断熱（非断熱加熱\(\dot{Q}=0\)）のとき運動方程式Equation 2.4，Equation 2.5は

\[\dv{_\mathrm{g}u_\mathrm{g}}{t}=f_0v_\mathrm{a},\; \dv{_\mathrm{g}v_\mathrm{g}}{t} = -f_0u_\mathrm{a}\]

となる。 Equation 2.3の右辺を\(p\)で微分し，静力学平衡Equation 2.7を用いると温度風平衡

\[f_0\pdv{u_\mathrm{g}}{p} =\frac{R}{p}\pdv{T}{y} \tag{2.12}\]

\[f_0\pdv{v_\mathrm{g}}{p} =-\frac{R}{p}\pdv{T}{x} \tag{2.13}\]

が得られる。 Equation 2.12の右辺のラグランジュ微分（\(\dv*{_g}{t}\)）をとると

\[\dv{_\mathrm{g}}{t}\qty(\frac{R}{p}\pdv{T}{y}) = S_0\pdv{\omega}{y}+Q_y \tag{2.14}\]

となる。ここで，

\[Q_y \equiv -\frac{R}{p}\pdv{\pmb{v}_\mathrm{g}}{y}\cdot\nabla T \tag{2.15}\]

である。 Equation 2.12の左辺をラグランジュ微分し，Equation 2.12，Equation 2.13を用いると

\[\dv{_\mathrm{g}}{t}\qty(f_0\pdv{u_\mathrm{g}}{p}) = f_0^2\pdv{v_\mathrm{a}}{p}-Q_y \tag{2.16}\]

となる。 Equation 2.14，Equation 2.16より，

\[S_0\pdv{\omega}{y}-f_0^2\pdv{v_\mathrm{a}}{p} = -2Q_y \tag{2.17}\]

が得られる。同様にEquation 2.12のラグランジュ微分から，

\[S_0\pdv{\omega}{x}-f_0^2\pdv{u_\mathrm{a}}{p} = -2Q_x \tag{2.18}\]

\[Q_x \equiv -\frac{R}{p}\pdv{\pmb{v}_\mathrm{g}}{x}\cdot\nabla T \tag{2.19}\]

を得る。 Equation 2.17を\(y\)，Equation 2.18を\(x\)で微分して加え, 連続の式Equation 2.9を用いると \(\omega\) に関する診断の式

\[\qty(S_0\nabla^2+f_0^2\pdv[2]{}{p})\omega = -2\nabla\cdot\pmb{Q} \tag{2.20}\]

を得る。ここで\(\pmb{Q}\equiv(Q_x, Q_y)\)はQベクトルと呼ばれる(Hoskins et al. 1978) 。

非地衡風成分の役割

準地衡風方程式系における非地衡風成分の役割について考えよう。非地衡風成分がないとき，Equation 2.14は地衡風成分のみで強制された気温傾度の時間変化

\[\dv{_\mathrm{g}}{t}\qty(\frac{R}{p}\pdv{T}{y}) = Q_y\]

Equation 2.16は鉛直シアの変化

\[\dv{_\mathrm{g}}{t}\qty(f_0\pdv{u_\mathrm{g}}{p}) = -Q_y\]

を表す。これらは大きさが同じで符号が反対なので，温度風平衡を壊すように働いている。つまり，温度風平衡は非地衡風成分による鉛直循環により維持されている。

Qベクトルの見方

高度場や気温の分布が与えられたときに，Qベクトルがどのようになるか理解するため，簡単な場合について考えてみよう(Sanders and Hoskins 1990) 。 Equation 2.15及びEquation 2.19で等温線と平行に\(x\)軸をとると\(\partial T/\partial x = 0\)となるので

\[\pmb{Q} = -\frac{R}{p}\pdv{T}{y}\qty(\pdv{v_\mathrm{g}}{x},-\pdv{u_\mathrm{g}}{x}) = -\frac{R}{p}\vqty{\pdv{T}{y}}\qty(\pmb{k}\times\pdv{\pmb{v}_\mathrm{g}}{x}) \tag{2.21}\]

と変形することができる。すなわち，\(\pmb{Q}\)は左手が寒気となるようにとった\(x\)軸方向に沿う地衡風ベクトルの変化（\(\partial \pmb{v}_\mathrm{g}/\partial x\)）を90° 時計回りに回転（\(-\pmb{k}\times\)したものに比例（\(R/p\vqty{\partial T/\partial y}\)）する。

Qベクトルの性質をまとめると以下の通りである。

Qベクトルは，収束域で上昇流，発散域で下降流を強制するEquation 2.20。
Qベクトルは，北風から南風に変わる低気圧の中心では東向き（温度風の向き），南から北風に変わる高気圧の中心では西向き（温度風と反対向き）となり，低気圧の前面で上昇流，後面で下降流を強制する。
等温線と等高線が平行で温度移流のない場合でも，風向きが北西から南西に変わる谷（トラフ）でQベクトルは東向きとなり，低気圧の前面に上昇流を強制する。
北風と南風とが合流する前線形成場では，東ほど風が強くなるため，Qベクトルは南向きとなり，前線の南の温暖域で上昇流を強制する。
暖気に向いたQベクトルは前線形成，等温線と平行なQベクトルは不活発，寒気に向いたQベクトルは前線消滅を示す。

連続の式を用いずにEquation 2.21を

\[\pmb{Q} = -\frac{R}{p}\pdv{T}{y}\qty(\pdv{v_\mathrm{g}}{x},\pdv{v_\mathrm{g}}{y}) \tag{2.22}\]

と表すと，\(v_\mathrm{g}\)のシアーのみでQベクトルが決まる（Equation 2.22）。 \(\pdv*{v_\mathrm{g}}{x}\)は北風最大の西で負，東で正，\(\pdv*{v_\mathrm{g}}{y}\)は北風最大の北で正，南でなので，北風最大の周りでQベクトルは発散する。

南北温度傾度のみ場合の場における低気圧に伴うQベクトル(Enomoto 2019)

2.5 実際の例

NCEP/NCAR再解析(Kalnay et al. 1996)を用いて行なったQベクトル解析の例を示す。

北米東岸の低気圧

1975年11月10日0 UTC，北米東岸の低気圧(Hoskins and Pedder 1980)の例では，700 hPa面の谷の後面（西側）に寒気がある) 。これに対応して，下降流とこれに対応するQベクトルの発散が見られる。低気圧の前面では，Qベクトルが収束している。これよりも弱いが，寒冷前線でもQベクトルが見られる。等温線を横切っているので，前線形成が示唆される。一方，温暖前線ではQベクトルは等温線に平行であり重要でないことが分る。

西日本豪雨

2018年6月下旬から7月上旬にかけて，台風や梅雨前線の影響により，西日本の広い範囲で記録的な降水量を観測し，各地で水害や土砂災害を引き起こした。気象庁が「平成30年7月豪雨」と命名したこの現象は「西日本豪雨」として知られている。降水量のピークは7月6日であったが，これに先行する7月4日に台風第7号が日本海を北東進し温低化している。北風の極大からQベクトルが発散し，大陸から西日本に伸びる暖域に向かって収束している。したがって，台風は梅雨前線の強化に寄与したと考えられる(Enomoto 2019) 。

課題

Equation 2.4，Equation 2.5から絶対渦度方程式Equation 2.6を導出せよ。
Equation 2.7を用いてEquation 2.10を\(\partial \phi/\partial p\)で表したEquation 2.11を導出せよ。
絶対渦度方程式と\(\partial \phi/\partial p\)で表した熱力学の式から時間微分の項を消去して，\(\omega\)方程式を導き，Equation 2.20と比較せよ。
低気圧の事例を選んでQベクトルを描け。領域はどこでもよい。高度を変えるとどうなるか。参考: Pythonによる気象データサイエンス梅雨前線