4 渦度と循環

Pedlosky (1987) に基づいて渦度について学ぶ。

4.1 渦度

渦度ベクトルは速度の回転として定義される。

\[\pmb{\omega} = \nabla \times \pmb{u}\]

デカルト座標で書き下すと

\[\begin{aligned} \begin{aligned} \omega_x &= \pdv{w}{y} - \pdv{v}{z} \\ \omega_y &= \pdv{u}{z} - \pdv{w}{x} \\ \omega_z &= \pdv{v}{x} - \pdv{u}{y} \\ \end{aligned} \end{aligned}\]

流れが閉じてなくても，シアーがあれば渦度があることに注意。

例題剛体回転

角速度\(\pmb{\Omega}_0 = \mathrm{const}\)の剛体回転を考える。

\(\pmb{r}\)における速度 \(\pmb{u} = \pmb{\Omega}_0\times\pmb{r}\)
\(\pmb{\Omega}_0 = \Omega_{0x}\pmb{i} + \Omega_{0y}\pmb{j} + \Omega_{0z}\pmb{k}\) とすると \(u=\Omega_{0y}z - \Omega_{0z}y, v=\Omega_{0z}x - \Omega_{0x}z, w = \Omega_{0x}y - \Omega_{0y}x\)
\(\pmb{\Omega}_0 = \Omega_{0}\pmb{k}\)のとき\(u=-\Omega_{0}y, v=\Omega_{0}x , w = 0\) \(\omega_x = 0, \omega_y = 0, \omega_z = \Omega_0 + \Omega_0 = 2\Omega_0\)
一般に\(\pmb{\omega} = 2\pmb{\Omega}_0\)

ベクトル解析の公式

\[\nabla\times(\pmb{A}\times\pmb{B}) = (\pmb{B}\cdot\nabla)\pmb{A}-(\pmb{A}\cdot\nabla)\pmb{B}+\pmb{A}(\nabla\cdot\pmb{B})-\pmb{B}(\nabla\cdot\pmb{A})\]

で\(\pmb{A}=\pmb{\Omega}_0, \pmb{B}=\pmb{r}\)とおくと，\(\pmb{\omega}\)は定ベクトル\(\nabla\cdot\pmb{r}=3\)を用いて

\[\begin{aligned} \begin{aligned} \nabla\times(\pmb{\Omega}_0\times\pmb{r}) &= (\pmb{r}\cdot\nabla)\pmb{\Omega}_0-(\pmb{\Omega}_0\cdot\nabla)\pmb{r} + \pmb{\Omega}_0(\nabla\cdot\pmb{r})-\pmb{r}(\nabla\cdot\pmb{\Omega}_0) \\ &= 0 - \pmb{\Omega}_0 + 3\pmb{\Omega}_0 = 2\pmb{\Omega}_0 \nonumber \end{aligned} \end{aligned}\]

絶対渦度

非回転系からみた渦度

\[\pmb{\omega}_a = \nabla\times(\pmb{u} + \pmb{\Omega}\times\bf{r}) = \pmb{\omega} + 2\Omega\]

を絶対渦度という。絶対渦度は相対渦度\(\pmb{\omega}=\nabla\times\pmb{u}\)と惑星渦度\(2\pmb{\Omega}\)との和である。惑星渦度の地表面に垂直な成分

\[f = 2\Omega\sin\phi\]

をコリオリパラメタという。

ロスビー数

ロスビー数は移流項とコリオリ項との比として定義されるが，相対渦度の鉛直成分とコリオリパラメタとの比でもある。

\[\omega_n = \mathcal{O}\qty(\frac{U}{L})\]

\[\frac{\omega_n}{f} = \frac{U}{fL} = \frac{U}{2\Omega L\sin\phi} = \frac{R_o}{\sin\phi}\]

中高緯度のゆっくりとした大規模運動はロスビー数が小さく，渦を伴っており，相対渦度が絶対渦度に比べて小さい。

例題渦度は非発散

渦度を速度\(\pmb{u}\)で表し，ベクトル解析の公式

\[\nabla\cdot\nabla\times\pmb{A} = 0\]

を用いると

\[\nabla\cdot\pmb{\omega} = \nabla\cdot\nabla\times\pmb{u}= 0\]

渦線・渦管・渦糸

渦線 vortex line: 線上の各点で接線が渦度ベクトルの向きに一致
渦管 vortex tube: 閉曲線\(C\)を通る渦線によって作られる管
渦糸 vortex filnament: 断面積が無限小の渦管に含まれる流体

渦管を横切る成分の渦度はない。また渦度は非発散なので

\[\iiint_V\dd V\nabla\cdot\pmb{\omega}_a = \iint_A\pmb{\omega}_a\cdot\pmb{n}\dd A = 0 \tag{4.1}\]

\(\pmb{n}\)は外向き法線で，Gaussの発散定理を用いた。

渦管の強さ

渦管の強さを

\[\pmb{\Gamma}_a\equiv \iint\pmb{\omega}_a\cdot\pmb{n}\dd A\]

で定義する。円柱状の渦管の入口を\(A'\)，出口を\(\pmb{n}_A\)とすると，\(\pmb{n}_{A'}=-\pmb{n}'_{A}\)なので，Equation 4.1より

\[\iint_A\pmb{\omega}_a\cdot\pmb{n}_A\dd A + \iint_{A'}\pmb{\omega}_a\cdot(-\pmb{n}_{A'})\dd A = 0\]

\[\iint_A\pmb{\omega}_a\cdot\pmb{n}_A\dd A = \iint_{A'}\pmb{\omega}_a\cdot\pmb{n}_{A'}\dd A\]

従って\(\pmb{n}\)の向き\(\pmb{\Gamma}_a\)は渦管に沿って一定である。

4.2 循環

ストークスの定理より渦管の強さは

\[\begin{aligned} \begin{aligned} \pmb{\Gamma}_a &= \iint\pmb{\omega}_a\cdot\pmb{n}\dd A = \oint_C\pmb{u}_\mathrm{I}\cdot\dd{\pmb{r}} \\ \pmb{\Gamma} &= \iint\pmb{\omega}\cdot\pmb{n}\dd A = \oint_C\pmb{u}\cdot\dd{\pmb{r}} \end{aligned} \end{aligned}\]

と速度を閉曲線\(C\)に沿って積分した値，循環で表すことができる。すなわち循環は渦管の強さを表す。

循環の時間発展

\[\dv{\Gamma}{t} = \dv{}{t}\oint_C\pmb{u}\cdot\dd{\pmb{r}} = \oint_C\dv{u}{t}\cdot\dd{\pmb{r}} + \oint_C\pmb{u}\cdot\dv{}{t}(\dd{\pmb{r}})\]

右辺第2項

\[\oint_C\pmb{u}\cdot\dv{}{t}(d\pmb{r}) =\oint_C\pmb{u}\cdot\dd{\pmb{u}} = \frac{1}{2} \oint_C\dd\qty|\pmb{u}|^2 = 0\]

運動方程式を\(C\)に沿って線積分\(\oint_C\cdot\dd{\pmb{r}}\)すると

\[\dv{\Gamma}{t} = -\oint_C(2\pmb{\Omega}\times\pmb{u})\cdot\dd{\pmb{r}} -\oint_C\frac{\nabla p}{\rho}\cdot\dd{\pmb{r}} +\oint_C\frac{\pmb{F}}{\rho}\cdot\dd{\pmb{r}}\]

循環の時間発展: コリオリ力

北半球\(\pmb{\Omega} > 0\)で閉曲線\(C\)から発散しているとき\(-2\pmb{\Omega}\times\pmb{u}\)は\(\pmb{u}\)の進行方向に対して右向きなので循環を弱める。

\[\dv{\Gamma}{t} < 0\]

循環の時間発展: 気圧傾度力

一様な上向きの\(-\nabla p\)に対して、軽い右側の流体が重い左側の流体よりも浮力\(-\nabla p/\rho\)大

\[\dv{\Gamma}{t} > 0\]

\[\begin{aligned} \begin{aligned} &-\oint_C\frac{\nabla p}{\rho}\cdot\dd{\pmb{r}}\\ &= -\iint_A\nabla\times\qty(\frac{\nabla p}{\rho})\cdot\pmb{n}\dd{A}\\ &= \iint_A\frac{\nabla\rho\times\nabla p}{\rho^2}\cdot\pmb{n}\dd{A} \end{aligned} \end{aligned}\]

\[\begin{aligned} \begin{aligned} \nabla\rho\times\nabla p &= 0\;\text{順圧} \\ \nabla\rho\times\nabla p &\ne 0\;\text{傾圧} \end{aligned} \end{aligned}\]

循環の時間発展: 摩擦力

\[\pmb{F}/\rho=\nu\nabla^2\pmb{u},\,\nu\equiv\mu/\rho\]

\[\nu\oint_C\nabla^2\pmb{u}\dd{\pmb{r}} = -\nu\oint_C(\nabla\times\pmb{\omega})\cdot\dd{\pmb{r}}\]

\[\nabla\times(\nabla\times\pmb{u})=\nabla(\nabla\cdot\pmb{u})-\nabla^2\pmb{u}\]

\(\omega_x=\omega_y=0\)で\(\omega_z\)が内部ほど大

\[-\nu(\nabla\times\pmb{\omega})\cdot\dd{\pmb{r}} = -\nu\pdv{\omega_z}{y}\dd x\]

\(\pdv{\omega_z}{y} > 0\)なので\(\dv{\Gamma}{t} < 0\)

Kelvinの定理

非回転系の運動方程式を閉曲線\(C\)に沿って積分

\[\dv{\Gamma_a}{t}=-\oint_C\frac{\nabla p}{\rho}\cdot\dd{\pmb{r}} +\oint_C\frac{\pmb{F}}{\rho}\cdot\dd{\pmb{r}}\]

流体が\(C\)上で(1)順圧で(2)\(\pmb{F}=0\)のとき\(\Gamma_a\)は保存。

\(\Gamma_a=\Gamma+2\Omega A_n\): \(\Gamma\)が増加（減少）すると\(2\Omega A_n\)が減少（増加）
\(\Gamma_a=\iint_A\pmb{\omega}_\mathrm{a}\cdot\pmb{n}\dd A\): 渦管が細く（太く）なると\(\pmb{\omega}_\mathrm{a}\)が増大（減少）
Kelvinの定理が成立: 渦管（極限としての渦糸）は流体と共に移動
粘性は渦糸を拡散し、傾圧効果は渦糸を生成

4.3 渦度方程式

\[\dv{\pmb{\omega}}{t} = (\pmb{\omega}_\mathrm{a}\cdot\nabla)\pmb{u} - \pmb{\omega}_\mathrm{a}\nabla\cdot\pmb{u} + \frac{1}{\rho^2}(\nabla\rho\times\nabla p) + \nabla\times\frac{\pmb{F}}{\rho}\]

シアーによる生成\(\omega_x = \omega_\mathrm{a}\pdv{u}{z}\)
渦管の収束による生成\(\dv{\omega_z}{t} = \omega_\mathrm{a}\qty(\pdv{u}{x}+\pdv{v}{y})\)
傾圧効果による生成
粘性による拡散