1  スケール解析

この講義では、 Haltiner and Williams (1980) に基づきスケール解析について議論する。

スケール解析（scale analysis）とは、支配方程式の各項の大きさを系統的に比較する手法である。スケール解析とエネルギーの検討に基づいて、力学解析や数値天気予報に用いられる一貫したモデルを定式化することができる。

変数は時空間的に特徴的なスケール（大きさ）を持つとする。

\[ \begin{aligned} \frac{\partial v}{\partial x} \sim \frac{\partial u}{\partial y} &\sim \frac{V}{L} \\ \frac{\partial u}{\partial t} &\sim \frac{V}{T} \end{aligned} \]

浅水波方程式は自由境界面を伴った非圧縮流体の静力学運動を記述し、慣性重力波とロスビー波の両方が含まれている。

\[ \frac{\partial\symbf{V}}{\partial t} + \symbf{V}\cdot\nabla\symbf{V} + \nabla\phi + f\symbf{k}\times\symbf{V} = 0 \tag{1.1}\]

\[ \frac{\partial\phi}{\partial t} + \symbf{V}\cdot\nabla\phi + \phi\nabla\cdot\symbf{V} = 0 \tag{1.2}\]

波の位相速度を\(C\)とすると時間スケールは\(T = L/C\)であり、総観規模運動で\(C \sim V\)とすると移流時間スケール\(T=L/V\)となる。 \(L \sim 10^6\)m及び\(V \sim 10\) m/sとすると\(T \sim 10^5\) s（およそ1日）となり、総観規模擾乱の1/4周期として妥当な値である。

Equation 1.1の各項は次のようにスケールされる。

\[ \begin{aligned} \partial\symbf{V}/\partial t &\sim V^2/L = R_ofV \\ \symbf{V}\cdot\nabla\symbf{V} &\sim V^2/L = R_ofV \\ f\symbf{k}\times\symbf{V} &\sim fV \end{aligned} \]

ここで\(Ro=V/fL\)はロスビー数でコリオリ力に対する加速の比を表す。 総観規模の典型的な値と\(f \sim 10^{-4}\)では、ロスビー数は\(Ro=0.1\)となる。 大気海洋の様々な運動においてロスビー数は小さい。

ロスビー数が小さいとき、加速はコリオリ力や移流に比べて小さい。 結果としてコリオリ力は気圧傾度力のみと釣り合う。

\[ \nabla\phi \sim fV \tag{1.3}\]

連続の式Equation 1.2を解析するために、\(\phi\)を定数\(\bar{\phi}\)と摂動\(\phi'\)に分離する。

\[ \phi=\bar{\phi}+\phi' \tag{1.4}\]

\(\phi'\)のスケールはEquation 1.3から

\[ \phi' \sim fVL \]

となる。 これを地衡風スケーリングという。

Equation 1.4を用いるとジオポテンシャルの摂動に対する連続の式は次のようになる。

\[ \frac{\partial\phi'}{\partial t} + \symbf{V}\cdot\nabla\phi' + \phi'\nabla\cdot\symbf{V} + \bar{\phi}\nabla\cdot\symbf{V} = 0 \tag{1.5}\]

Equation 1.5のスケーリングは以下のようになる。

\[ \begin{aligned} \frac{\partial\phi'}{\partial t} &\sim fV^2 \sim R_oF\bar{\phi}\frac{V}{L}\\ \symbf{V}\cdot\nabla\phi' &\sim fV^2 \sim R_oF\bar{\phi}\frac{V}{L}\\ \phi'\nabla\cdot\symbf{V} &\sim fV^2 \sim R_oF\bar{\phi}\frac{V}{L}\\ \bar{\phi}\nabla\cdot\symbf{V} &\sim \bar{\phi}\frac{V}{L} \end{aligned} \]

ここで \[\begin{equation} F=\frac{f^2L^2}{\bar{\phi}} = \frac{L^2}{L_R^2} \end{equation}\] は回転Froude数で、\(L_R=\bar{\phi}^{1/2}/f\)をロスビーの変形半径である。

\(R_o\)のオーダーの項を無視すると運動方程式は

\[ \nabla\phi + f\symbf{k}\times\symbf{V} = 0 \]

となる。 \(F\leq1\)のとき連続の式の第一近似は

\[ \bar{\phi}\nabla\cdot\symbf{V} = 0 \] となる。